LANGKAH-LANGKAH PEMBELAJARAN,
SOAL DAN PEMBAHASAN

Mata Pelajaran : Matematika
Satuan Pendidikan : SMP
Kelas / Semester : VIII / 1
Metode Pembelajaran : Contextual Teaching and Learing ( CTL ).
Standar Kompetensi : Persamaan Garis Lurus
Kompetensi Dasar : Menentukan Gradien, persamaan dan grafik garis lurus

I. Langkah-langkah pembelajaran
A. Pengertian garis lurus dan sistem koordinat kartesius.
1. Siswa dikenalkan benda-benda di sekitar mereka yang berbentuk garis lurus. Sebagai contoh tiang listrik, tali jemuran, bumbung rumah, dan lain-lain.
2. Guru mengabstraksikan garis lurus melalui contoh dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh Ditya mempunyai mainan mobil-mobilan yang digerakkan dengan baterai. Mobil-mobilan tersebut berada 3 cm dari tepi ruangan dan bergerak pada lantai ruangan dengan kecepatan konstan 5 cm setiap detiknya (apersepsi dengan fungsi). Pergerakkan mobil-mobilan dapat disajikan :

detik (t) 5 + 3 t jarak ( s ) posisi (t,s)
0 5 + 3 . 0 5 (0,5)
1 5 + 3 . 1 8 (1,8)
2 5 + 3 . 2 11 (2,11)
3 5 + 3 . 3 14 (3,14)
4 5 + 3 . 4 17 (4,17)
5 5 + 3 . 5 20 (5,20)
… … … …
… … … …
10 5 + 3 . 10 35 (10,35)
N 5 + 3 . N … (N, 5+3.N)
3. Siswa dikenalkan dengan sistem koordinat kartesius untuk membantu mereka memahami sebuah persamaan garis lurus tersebut di atas. Dengan menghubungkan setiap dengan titik yang berdekatan, diperoleh sebuah garis lurus.
Untuk mengenal sistem koordinat kartesius, 7 orang siswa (A, B, C, D, E, F dan G ) diminta ke depan untuk menempati posisi yang telah ditentukan dan seorang siswa (D) sebagai petokan. Kemudian guru menanyakan dimana posisi siswa A terhadap D, posisi siswa yang lainnya terhadap D. Posisi dipandang dengan jarak mendatar sisi kanan-kiri (sebagai sumbu-x) dan jarak mendatar sisi depan-belakang (sebagai sumbu-y). Guru dapat mengambil arah kiri sebagai arah negatif dan arah belakang sebagai arah negatif juga. Tentunya untuk jarak diperlukan satuan. Pada permasalahan ini ubin lantai dapat digunakan sebagai satuan ukuran.
Setelah siswa mengenal sistem koordinat kartesius, siswa dapat menggunakan kertas berpetak untuk menempatkan titik-titik pada tabel di atas, dan mulai menghubungkan titik-titik membentuk suatu garis.
4. Melalui gambar pada kertas berpetak siswa dapat mengamati pada pososi mana garis akan memotong sumbu-x dan sumbu-y.

B. Gradien garis lulus.
Untuk mengenal gradient ini guru dapat menggunakan kembali bentuk bumbung rumah. Guru dapat menggunakan bumbung dua rumah atau lebih. Siswa diminta untuk mengamati dan menentukan bumbung mana yang tampak lebih miring.
Kemudian guru menyatakan apa arti gradien.
1. Menentukan gradient garis lurus
Dengan mengunakan grafik (data tabel) yang sudah digambar pada kertas berpetak tadi (analogikan dengan bumbung rumah), diberikan gradien grafik adalah ukuran kemiringan dengan rumus :



Untuk menentukan gradien (kemiringan) grafik, siswa dapat menentukan posisi sebarang dua titik tertentu pada garis lurus dan menggunakan rumus di atas. Untuk gradien positif atau negatif dapat dikenalkan dengan mengambil penerapan rumus di atas atau dapat secara langsung disepakati bahwa jika garis dari kiri ke kanan naik, gradien bernilai positif, dilain pihak jika garis dari kiri ke kanan turun, gradien bernilai negatif.

C. Menetukan persamaan garis lurus.
Siswa diminta mengamati lagi gambar grafik yang sudah di gambar pada kertas berpetak. Ternyata secara umum pasangan titik-titiknya dapat ditulis seperti pada tabel di atas kolom ke dua yaitu . Dengan mengubah s dengan y dan t dengan x, kolom tabel dapat ditulis .
Jadi persamaan garis lurus secara umum adalah
, m dan c sebagai konstanta.
1. Menentukan persamaan garis jika diketahui gradient lurus adalhah m dan suatu titik tertentu pada garis.
Misalkan garis mempunyai persamaan dan titik tertentu itu adalah P(x1,y1). Jika x = x1 dan y = y1 diperoleh y1 = m x1 + c , atau c = y1 - mx1 .
Dengan mensubstitusi nilai c diperoleh persamaan garis


2. Menentukan persamaan garis jika diketahui dua titik tertentu pada garis.
Misalkan garis mempunyai persamaan . pertama kita dapat menentukan nilai m dari persamaan garis dengan rumus
, setelah itu dengan memilih salah satu titik yang diketahui dan diperoleh persamaan garis

3. Menentukan persamaan garis k yang sejajar dengan garis l dan melalui suatu titik A ( a1 , b1).
Garis k sejajar dengan garis l jika gradien garis l sama dengan gradien garis k.
Jadi persamaan garis k adalah
.
4. Menentukan persamaan garis k yang tegak lurus dengan garis l dan melelui suatu titik A ( a1 , b1).
Garis k tegak lurus dengan garis l jika gradien garis l dikalikan dengan gradien garis k bernilai -1.

Jadi persamaan garis k adalah
atau

5. Seperti telah disinggung pada awal yaitu pada posisi mana garis memotong sumbu-x dan sumbu-y, maka posisi dua garis atau lebih dapat berpotongan disuatu titik .Jadi semua garis tersebut akan melalui titik perpotongannya. Untuk menentukan titik potong dapat kita gunakan substitusi seperti halnya pada bagian 1 di atas.
II. Contoh soal ( abstraksi ) .
a. Soal tertutup
Tentukan persamaan garis yang mempunyai gradien 4 dan melalui titik A(3,2).
Jawab :
i). Diketahui persamaan garis dengan gradien 4, ditanyakan persamaan garis.
ii) Perencanaan penentuan persamaan garis dengan gradient m dan suatu titik tertentu.
iii). Y = mx + c
Garis melalui titik A(3,2) dengan m = 4
2 = 4. 3 + c c = 2 - 12 = -10
Jadi persamaan garis tersebut adalah y = 4x - 10.
iv). Evaluasi
2 = 4.3 - 10 = 12 - 10 = 2 benar serta langkah-langkahnya logis.
Jadi persamaan garis tersebut adalah y = 4x - 10.
Soal tersebut diselesaikan hanya dengan satu cara, dan satu jawaban yang tepat, maka soal tersebut adalah soal terutup.

b. Soal pemecahan masalah
- Soal tertutup I
Tentukan persamaan garis yang melalui K(–2,–4) dan sejajar dengan garis
3x + y – 5= 0.
Jawab.
Pertama, tentukan gradien garis 3x + y – 5 = 0.
3x + y – 5 = 0 y = –3x + 5 diperoleh m = –3.
Garis h sejajar dengan garis 3 x + y – 5 = 0 maka garis h memiliki gradien yang sama, yaitu m = –3.
Garis h melalui K(–2, –4) maka x1 = –2, y1 = –4.
Langkah kedua, tentukan persamaan garis h sebagai berikut
y – y1 = m (x – x1) y – (–4) = –3(x – (–2))
y + 4 = –3x – 6 y = –3x – 6 – 4 y = –3x –10
Jadi, persamaan garis h adalah y = –3x – 10 atau 3x + y + 10 = 0.

- Soal tertutup II
Sebuah tabung yang volumenya 60 liter akan diisi penuh oleh kantong solar dan kantong minyak tanah. Ukuran Volume kantong solar perbuahnya adalah 2 liter dan ukuran volume kantong minyak tanah adalah 5 liter. Pada suatu pengisian tertentu tabung telah terisi 5 kantong solar dan sisanya akan kekosongannya akan diisi minyak tanah. Berapa kaontong minyak tanah yang diperlukan agar tabung penuh?
Jawab:
i) Diketahui
Volume tabung 60 liter, ukuran kantong solar 2 liter dan ukuran kantong minyak tanah 2 liter. Tabung telah terisi 5 kantong solar.
Ditanyakan jumlah kantong minyak tanah.
ii) Merencanakan strategi.
Untuk ini dibuat persanaan garis lurus yang menyatakan hubungan tabung dengan kantong solar dan minyak tanah.
iii) Volume tabung adalah tetap 60 liter
Misalkan jumlah kantong solar yang dipakai mengisi tabung adalah x
jumlah kantong minyak tanah yang dipakai mengisi tabung adalah y
Persamaannya : 60 = 2x + 5y.
Karena tabung telah memuat 5 kantong solar maka 60 = 2.5 + 5y
60 = 10 + 5y, sehingga diperoleh y = 10. Dengan demikian jumlah kantong minyak tanah yang dibutuhkan sebanyak 10 kantong.
iv) Evaluasi
Soal di atas diselesaikan dengan satu cara dan menghasilkan jawaban tunggal. Soal di atas juga memerlukan pemahaman bahasa, jadi sdapat di simpulkan bahwa soal di atas merupakan soal pemecahan masalah tertutup.

- Soal terbuka
Tentukanlah gradien dari persamaan garis 4x + 5y = 9
Jawab :
i) Diketahui 4x + 5y = 9 dan ditanyakan m.
ii) Perencanaan
- Persamaan di bentuk dalam persamaan y = mx + c, dengan demikian diperoleh m sebagai gradient persamaan garis.
- Dengan menggunakan perbandingan dua titik pada garis
iii) Pelaksanaan.
- Persamaan garis 4x + 5y = 9 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx + c sehingga 4x + 5y = 9 5y = 9 – 4x

Jadi gradien dari persamaan garis 4x + 5y = 9 adalah .
- Dapat dipilih titik A(1,1) dan B(6,-3) adalah titik yang dilalui oleh garis. Dengan menggumakan rumus gradien diperoleh
= - .
Jadi gradient dari persamaan garis 4x + 5y = 9 adalah .
iv) Evaluasi
Soal di atas dapat di selesaikan dengan dua cara maka soal di atas merupakan soal open ended. Dengan menggunakan kedua cara diperoleh hasil yang sama dan langkah-langkahnya logis.
Jadi gradient garis 4x + 5y = 9 adalah .

III. Soal pemecahan masalah
a. Soal tertutup
Sebuah pesawat akan mendarat. Mulai roda keluar ( detik 0 ) hingga mendarat, pesawat tersebut membentuk garis lurus dengan kemiringan (gradien) -3. Pada saat detik ke dua setelah roda dikeluarkan, pesawat tersebut berada pada ketinggian 699 m dari permukaan tanah. Pada detik keberapa pesawat menyentuh lantai?
Jawab
Misalkan tinggi pesawat dari permukaan tanah pada detik ke-t, dan m = -3
Persamaan ketinggian pesawat dari permukaan tanah, y = -3x + c.
Ketinggian pesawat setelah detik ke dua adalah 699 = -3.2 + c
Jadi diperoleh nilai c adalah 705 dari persamaan ketinggian pesawat dari permukaan tanah. Jadi persamaan ketinggian pesawat dari permukaan tanah sejak roda mulai keluar adalah
Y = -3x + 705
Pesawat akan menyentuh lantai artinya ketinggian dari tanah telah mencapai 0 m. jadi untuk mencapai tanah diperlukan waktu selama t detik dari roda mulai keluar.
Y = 0 = -3x + 705 3x = 705 x = 235.
Jadi pesawat akan menyentuk tanah setelah 235 detik atau 3 menit 55 detik sejak roda keluar.

b. Soal terbuka
Perhatikan gamba jembatan
penyeberangan di samping ini.
Gambar 3.1(b) adalah bagian dari
jembatan sebelah kiri yang dilihat
dari arah depan. Gambar ini dapat
diilustrasikan seperti pada Gambar 3.11(c).
Jika AB = 8 m dan BC = 5 m, berapakah
kemiringan jembatan penyeberangan itu?



Jawab :
i) Diketahui jarak mendatar adalah 8 m dan jarak tinggi adalah 5m. Ditanyakan gradien jembatan.
ii) Perencanaan , dengan menggunakan rumus perbandingan jarak tinggi terhadap jarak mendatar.
iii) Pelaksanaan
- Jika posisi jalan raya tepat di bawah pengamat maka kemiringan jembatan tangga sebelah kiri adalah
. Tangga sebelah kiri analogi dengan garis dari kiri ke kanan naik, maka kemiringannya bernilai positif. Jadi kemiringan jembatan adalah
- Jika posisi jalan raya tepat di bawah pengamat maka kemiringan jembatan tangga sebelah kanan adalah
. Tangga sebelah kanan analogi dengan garis dari kiri ke kanan turun, maka kemiringannya bernilai negatif. Jadi kemiringan jembatan adalah
iv) Evaluasi .
Soal mempunyai dua jawaban yang berbeda, maka soal adalah open ended serta langkah-langkah logis.